《撷真》第20期：教学天地

挑起认知冲突，培养学生的数学探索能力

林旭伟  老师

高中数学新课程标准全面倡导 “自主、探究、合作”的学习方式，而数学探索能力是学生探究活动中不可或缺的能力。数学探索能力是数学思维能力中最富有创造性的要素，也是最难培养和发展的要素。探索能力强的学生，能迅速地轻易地从一种心理运算转到另一种心理运算，表现出较强的灵活性，在对思维活动的定向、调节和控制上，有较强的监控能力，对思维过程有较强的自我意识，善于提出问题，敢于大胆猜想。[1]   那么，怎样培养学生的数学探索能力呢？笔者认为，利用学生的认知规律，挑起学生的认知冲突，从而发展学生的探究思维品质、增强学生的思维的求异意识，培养学生的建模应用能力以及将所学知识的引申拓展的能力，可发展学生的数学探索能力。

一、用知识类比挑起学生的认知冲突，发展学生的探究思维品质

高中生的思维已基本形成一种暂时的认知平衡，在数学教学中，教师借助类比的思想方法在学生原有的认知基础上推出新问题，打破学生这种暂时的认知平衡，产生认知冲突，激发自主探究意识，继而引发学生完善对新知识的建构，并在“平衡→不平衡→新的平衡”的循环中不断地提高和发展自己的探究思维品质。

现行高中数学教材（新课标版）很注重向读者呈现知识的类比思想，如必修5第二章《等比数列》“与等差中项的概念类似，如果在a与b中插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。”选修2-1第二章《椭圆》“类比利用圆的对称性建立圆的议程的过程，我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立它的方程。”第三章《空间向量能其运算》“类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算”等等知识类比性陈述都是显而易见的。

在新授课教学中，我经常采用类比教学的手段来打破旧知识的暂时平衡，如：“等差数列的通项公式”与“等比数列的通项公式”的类比、“椭圆”与“双曲线”之间性质的类比、“等差数列的性质”与“等差数列的性质”的类比、“立体几何”与“平面几何”的类比、“数列的通项公式”与“函数的解析式”的类比、“向量的坐标”与“复数在复平面内点的坐标 ”的类比……这些惯常的类比教学实例中使我体会到类比手法对学生自主探究品质的影响。显然，生动合理的类比教学可以挑起学生的知识性认知冲突，引导学生如何将新的认知对象纳入原有的认知范畴，增强学生探求新知识的欲望，并在此过程中形成良好的探究思维品质。

二．挑起策略性认知冲突，培养学生思维的求异意识

高中生的思维形式化已占优势地位，同时由于理论思维的发展，高中生思维结构的内部关系更加协调，分析与综合、抽象与概括、归纳与演绎、形式逻辑与辩证逻辑、认知与非认知因素等形成协调发展的新格局，因而思维的功能更完善，思维的效率更高，也更适合进行求异思维。[2]

求异思维是学生进行探究性学习的一种重要思维方法，也是创造性思维的核心组件。数学课中，我们可以从同一道题中尽可能开拓多种思维渠道, 使学生从不同的思维路子达到同一思维目的；也可以从不同的知识体系寻求新的解题方法，挑起学生的策略性认知冲突，以此来打破学生的思维定势，引导学生尝试从不同角度、不同层面、不同结局进行辨证式的求异分析，循序渐进地去寻求解决这类数学问题的新策略，从而形成思维的求异意识。一般情况下，用求异思维挑起策略性认知冲突的教学构想，比较适合运用在数学的专题复习课中。为了更有效地实施这种构想，在课堂中教师既要注重结合学情提炼出挑战性问题，更要注重引领学生获得从“定势”到“变势”的思维体验。

例、已知椭圆的离心率为    ，它的焦点与对应的准线分别为抛物线 的焦点和准线，求椭圆的方程

[解法一]：设椭圆中心为

则         ……(1)，      ………..(2)

解得： ,  ,

又  故所求方程为

.

认真审题回发现，此题条件焦点

和准线必是椭圆的左焦点和左准线，并且

此题离心率是已知的，所以，很容易想到

应用椭圆的第二定义解决此题。

[解法二]：设P(x,y)为椭圆上任一点。K为P到准线的垂线段的垂足，则

,即                .

整理，得椭圆方程。

解法二堪称绝妙！因为它有效地利用所给条件，应用圆锥曲线的统一定义解决问题，同时避免了解方程的计算。在讲解时呈现在学生面前的将是一种震撼性的认知。通过挑起策略性的认知冲突，既全面巩固和完善了学生已有的认知结构，又加强了学生思维的求异意识，有效地提升了学生的研究性学习技能。

三．挑起应用性认知冲突，增强学生建模应用的能力

数学探究遇到的问题有时是极其复杂的，往往涉及诸多的因素。数学模型是对数学基础知识的高度概括,建模解模是解决问题、探索数学的必备能力。因此,我们必须培养和提高学生建模的能力，以增强学生的探究能力。但在实际教学中我们发现，学生一般都能较好地认知基础数学模型，也能比较自如地运用这些基础模型去解决理论层面上的基本问题，但对于一些应用性较强的实际问题常常会难以解决，显然这时在数学建模上遭遇到了思维障碍。如果我们能在平时的教学过程中，有意识地多注重基础模型在实际问题中的渗透，引导学生重视数学模型的类化与移植，那么将挑起学生的应用性认知冲突，帮助学生在思维上克服建模障碍，拓展学生的研究性学习视野，提高学生求解实际问题的思维灵活性。

例题：在洗衣服时，衣服已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能把水拧干。衣服上还残留含有污物的水1kg，用20kg清水来漂洗，怎样才能漂洗得更干净？（衣服上的污物能均匀地溶于水中，每次都漂洗得很充分且程度相同，漂洗的过程中水没有外溢。）

为了研究这个个问题，我们首先帮学生学会把问题的一般化：

衣服经洗涤充分拧干后残存水量是多少？如果把20kg水分成几次使用？每次用量依次是多少？。经过n次漂洗后，衣服上所残存污水怎样计算？怎样合理使用这20kg水，才能把衣服洗的干净？（残留污物量最少）

我们在这过程上挑起学生应用性的认知冲突，培养学生以下几点能力：（１）理解实际问题的能力；（２）洞察能力，即关于抓住系统要点的能力；（３）抽象分析问题的能力；（４）“翻译”能力，即把经过一生抽象、简化的实际问题用数学的语文符号表达出来，形成数学模型的能力和对数学方法进行推演或得到注结果能语言表达出来的能力；（５）运用数学知识的能力；（６）通过实际加以检验的能力。各方面能力加强了，对知识就能触类旁通，举一反三，化繁为简. 这类通过建模挑起的应用性认知冲突，对学生而言，既可以巩固和升华基础模型，又能充实和提高数学建模思想。

四．挑起观念性认知冲突，使学生学会引申拓展所学知识

高中数学新课程倡导探究性学习，更强调体验性学习。数学探索基于勇于创新，创新来之类比，创新来之好奇，来之认知观念的冲突。要培养学生的数学探索能力，应引导学生学会引申拓展所学知识。数学教学中，我们应引导学生把所学生识进行引申展，可以从平面拓展到空间，从正整数拓展到实数，从中学数学中数列拓展到高等数学中的数阵，从特殊情形通过归纳、猜想和证明拓展到一般结论。

例如，在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究棱锥侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则                        。”本题通过类比三角形的余弦定理，把平面几何拓展到空间，让学生通过探索斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，

又如：“求函数        的单调区间”，在学生具备了一定的知识以后，我们对它适当进行引申，设计一些问题：(1)研究该函数主要性质；（2）设计作出其图象的方案，并找出其图象的特征（3）分别作出函数       ,                  的图象并概括其规律，（4）找出一个具有此类函数模型的实际问题，并予以解决。问题呈现在学生面前以后，调动的学生的积极性，以饱满的热情进行探究。当然，教师要适当的进行引导，不要使探讨盲目发展。学生在感受到成功的喜悦的同时，也参与了知识的发生、形成、发展的过程，对数学的思想有了更深刻的理解。区别于传统教学的是，学生主动参与，积极创造，自主获取了知识，更深入地培养学生的探索精神。

总之，数学探索能力的培养，作为一种极富挑战性的教学任务，我们应顺应了学生的认知规律，在数学教学活动的关键处，不断地、适时地挑起学生的认知冲突，使学生在理解和掌握知识的同时，发现并体验到已有知识经验的局限性，进而激发学生产生探究性学习的强烈愿望，促进探索能力的发展！